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Lien avec les primitives

Le but du calcul intégral est de développer des méthodes permettant de calculer les intégrales. La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction

f

, donne une fonction

F

dérivable et dont la dérivée est égale à

f

F' (x) = f (x)

On montre que toute fonction continue sur un segment

[a, b]

admet des primitives, et que l'intégrale de

a

b

est égale à

F (b) - F (a)

, indépendamment de la primitive choisie.

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)=\left[F(x)\right]_{a}^{b}

De plus l'ensemble des primitives d'une fonction

f

continue sur un intervalle I est donné par l'ensemble de ses intégrales indéfinies

F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t+K\,,

où

a

est un point de I et K un réel quelconque.

Le théorème fondamental de l'analyse affirme que les deux approches de l'intégrale (« aire sous une courbe » et « primitivation »), sont sous certaines conditions les mêmes. Ces conditions peuvent varier selon le type d'intégrale considéré. Ainsi, les fonctions qui admettent des primitives presque partout, sont aussi intégrables au sens de Kurzweil-Henstock, mais pas nécessairement au sens de Riemann ou au sens de Lebesgue.

Propriétés des intégrales

Soient

f

g

deux fonctions continues sur

I

a, b

c

trois réels de

I

$\int _{a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x\,\!=0$
$\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x\,\!=-\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,\!$
$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,\!+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x$ (relation de Chasles)
$\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\int _{a}^{b}\lambda \,f(x)\,\mathrm {d} x=\lambda \,\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$
$\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x\,\!$ (linéarité de la fonction intégrale)
Si $f (x) \leq g (x)$ sur $[a, b]$ , alors $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x.$
Inégalité de la moyenne. Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , avec $a \leq b$ et si pour tout $x$ de cet intervalle, on a : $m\leq f(x)\leq M,$
alors
$m\,(b-a) \le \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm dx \le M\,(b-a).$

Méthodes numériques

On ne connaît pas toujours une formule pour décrire une fonction, par exemple dans le cas d'une courbe expérimentale. Dans d'autres cas, on ne connaît pas de méthode analytique pour exprimer la primitive, ou bien on n'a pas besoin de l'expression analytique et seule la valeur numérique suffit. On a recours dans ces cas-là à une méthode numérique.

Les méthodes numériques consistent à prendre une suite de valeurs

(x i, f (x i))

, les valeurs des

x i

étant si possible équidistantes :

x i +1 - x i = p

. On peut ensuite appliquer différentes méthodes, dont les deux principales consistent à faire la somme d'aires S_<i :

méthode des rectangles : S_<i est l'aire d'un rectangle de hauteur

f (x i)

et de largeur

p

, on prend donc pour approximation

\sum_{i = 1}^n f(x_i)\times p ;

méthode des trapèzes : S_<i est l'aire d'un trapèze de bases

f (x i)

f (x i +1)

, et de hauteur

p

(graphiquement, c'est plutôt sa « largeur »), on prend donc pour approximation

\sum_{i = 1}^{n-1} \frac{f(x_i) + f(x_{i+1})}{2}\times p = \sum_{i = 2}^{n-1} f(x_i)\times p + \frac{f(x_1) + f(x_n)}{2}\times p .

Les méthodes numériques sont automatisables sur les ordinateurs et calculatrices programmables.

D'autres méthodes sont possibles.

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